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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
l) f(x)=x23(1−x)f(x)=x^{\frac{2}{3}}(1-x)

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.

Yo arrancaría haciendo la distributiva y reescribiendo esta función como:

f(x)=x23−x53f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}}  

(Esto lo hago sólo porque me parece que va a resultar más fácil trabajar con la función así!)

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty lim⁡x→+∞ x23−x53 =−∞ \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} = -\infty
lim⁡x→−∞ x23−x53 =+∞ \lim_{x \to -\infty} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} = +\infty
Es decir, ff no tiene asíntotas horizontales.  3) Calculamos f′(x)f'(x):
f′(x)=23x−13−53x23 f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}  

Ojo ojo, antes de avanzar, mucho cuidado acá! Nos quedó un x−13x^{-\frac{1}{3}} por ahí... eso es 1x13\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}. Esa xx está en el denominador, por lo tanto el dominio de ff excluye a x=0x=0. Pero x=0x=0 si formaba parte del dominio de ff, por lo tanto, como vimos en la clase, es un punto crítico. 

4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para ver si tenemos otros puntos críticos:

23x−13−53x23=0 \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} = 0 Factorizamos para resolver la ecuación, saco factor común   
13x−13(2−5x)=0 \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}}(2 - 5x) = 0  

La única solución de esta ecuación es x=25x = \frac{2}{5}, así que ahí tenemos otro punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:
a) x<0x < 0 b) 0<x<250 < x < \frac{2}{5} c) x>25x > \frac{2}{5} 
6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<0x < 0 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. b) Para 0<x<250 < x < \frac{2}{5},
f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. c) Para x>25x > \frac{2}{5} 
f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

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Benjamin
21 de mayo 15:26
1/3 de x a la -1/3 nunca puede valer 0 porque el x a la -1/3 no lo permite no? porq ese x esta en el denominador y nunca puede valer 0
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:56
@Benjamin Exactooooo :)
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 15:14
flor una duda, cuando quiero hacer lo de la suma de exponentes cuando vos reescribis la fraccion, en la calculadora no me lo deja como 5/3, me lo deja literalmente como 1/2/3, tengo que tocar algo para q aparezca bien o como hago?
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:55
@Benjamin Cuando te lo deja escrito como 1 / 2 / 3, apretás Shift + la tecla abc (a la izquierda, por abajo del shift) y ahí te aparece escrito como 5/35/3...

No se como sobreviviste hasta acá sin usarlo jajajaja salió?
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:35
jajaj, si si ahora si, graciass
0 Responder